Teorema de Pitagoras: Integrales por variable trigonométrica Lección 2
Explicación:
El Teorema de Pitágoras relaciona los 3 lados de un triángulo rectángulo, lo que nos permite calcular cualquiera de ellos conociendo los otros dos. Esta relación es:
(hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto2)2
es decir:
“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”
- Si conocemos los dos catetos, simplemente elevamos al cuadrado ambos y los sumamos. La raíz cuadrada de esta suma será la hipotenusa.
- Si conocemos un cateto y la hipotenusa, hallamos la hipotenusa al cuadrado menos el cateto al cuadrado. La raíz cuadrada de esta resta será el otro cateto.
La aplicación a la práctica es sencilla:
Aquí tienes una demostración gráfica del Teorema:
Si quitamos los cuatro triángulos en ambas figuras, nos queda que
c2 = a2 + b2
donde c es la hipotenusa del triangulo y a y b, los catetos.
Ya los agrimensores egipcios, hace tres mil años, utilizaban el triángulo de lados 3, 4 y 5 para dibujar ángulos rectos sobre el terreno.
La propiedad de los triángulos rectángulos de afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es el famoso teorema de Pitágoras al que vamos a dedicar este post.
¿Sabrías demostrar el teorema de Pitágoras? ¿Hay más ternas pitagóricas además de (3-4-5)? ¿Qué tiene esto que ver con el último teorema de Fermat?
Demostración sin palabras del Teorema de Pitágoras
( H.E. Dundeney 1917)
Esta es la pimera demostración en la que se costruyen las áreas de los cuadrados de los catetos, a partir del cuadrado de la hipotenusa usando sólamente traslaciones (sin usar movimientos inversos)
Demostración del Teoerema de Pitágoras de A. Einstein
En el triángulo original, de lados a,b,c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda tiene por hipotenusa a; llamaremos a su área Sa; el de la derecha tiene por hipotenusa b, y su área será Sb. El triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área Sc.
Estos tres triángulos son semejantes porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal. Podemos escribir por tanto que:
Sa = k·a2
Sb = k·b2
Sc = k·c2
donde k es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica).
Además, es obvio que
Sc = Sa + Sb
Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores,
c2 = a2 + b2
Ternas pitagóricas y el último teorema de Fermat
Además de (3-4-5) hay otras ternas pitagóricas, es decir, tres números enteros (x-y-z) que cumplen el teorema de Pitágoras
x2 + y 2= z2
Por ejemplo: (9-12-15), (5-12-13), ... son ternas pitagóricas
¿Esto mismo funcionará para los cubos?
x3 + y 3= z3
El último teorema de Fermat, que enunció Fermat sin demostración conocida poco antes de morir, afirma que, si se cambia el exponente 2 por otro entero cualquiera n mayor que 2, la ecuación
xn + y n= zn
no tiene soluciones enteras.
¿Puedes averiguar algo más sobre Fermat? ¿Se ha demostrado ya el último teorema de Fermat?
En uno de los episodios de los Simpsons se hace referencia al último teorema de Fermat.
Como se puede ver en el fotograma que se ha incluido en el texto aparece la igualdad
178212 + 184112 = 192212
Es curioso, el caso que se presenta, pues si se hace con una calculadora (por cuestiones de redondeo) resulta que se verifica lo que sería un contraejemplo del último teorema de Fermat. ¡Compruébalo!
FUENTE:http://aprender-ensenyarmatematicas.blogspot.mx/2011/04/teorema-de-pitagoras.html
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