Logaritmos: Lección 2

Logaritmos: Lección 2 

Definición de Logaritmo

A instancias de las matemáticas, un logaritmo es el exponente al cual es necesario elevar a una determinada cantidad positiva para que resulte un número determinado. También se lo conoce como la función inversa a la función exponencial.

En tanto, se denomina logaritmación a la operación matemática a través de la cual, dando un número resultante y una base de potenciación se tendrá que hallar el exponente al cual habrá que elevar la base para así conseguir el mencionado resultado.

Tal como sucede con la suma y la multiplicación que tienen sus operaciones opuestas, la división y la resta, la logaritmación tiene a la exponenciación como su función inversa.

Ejemplo: 10(2) = 100, el logaritmo de 100 en base 10 será el 2 y se lo escribirá de la siguiente forma: log10 100 = 2.

Este método de cálculo a través de los denominados logaritmos fue impulsado por John Napier a comienzos del siglo XVII.

El método logarítmico no solamente contribuyó en cuanto al avance de la ciencia sino que además se convirtió en una herramienta fundamental en el ámbito de la Astronomía haciendo más simples cálculos realmente muy complejos.

A los logaritmos se los usó muchísimo en la geodesia, en algunas ramas de la matemática aplicada y en la navegación marítima cuando las calculadoras y las computadoras todavía no eran el hecho concreto que son hoy en día.

En matemáticas lo que es un logaritmo de un número es el exponente al cual otro valor fijo, la base, debe llegar para producir este número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 para base 10 es 3, porque 10 a la potencia de 3 es 1000. Teniendo que $10\times 10\times 10=1000-$ y por lo tanto es ${10}^3$.

Para ser más precisos: para cada dos números reales positivos que pueden ser 

$b$

 y 

$x$

, donde 

$b$

no es igual a 

$1$

, el logaritmo de 

$x$

 con base de 

$b$

, se escribe como 

${\log }_b\left(x\right)$

, y es un número real único tal como: 

$b^y=x$

. Esto es la definición de logaritmo.

Vamos a ver un ejemplo práctico para saber qué es un logaritmo y cómo hacer el cálculo de logaritmos. Tenemos 

$64$

, que es igual a 

$4^3$

, entonces, para obtener el logaritmo de 64 se puede escribir de esta manera: 

${\log }_4\left(64\right)=3$

Entonces un logaritmo es una forma de representar un exponente y si vemos otro ejemplo del concepto de logaritmo, notaremos que estas dos ecuaciones son equivalentes, es decir, que las dos ecuaciones que siguen tienen el mismo valor numérico y matemático:

$3^4=81$

${\log }_3\left(81\right)=4$

Ahora veremos una definición de logaritmos que puede resultar más completa y científica: la idea de logaritmo es revertir la operación de la potenciación, lo cual es, elevar un número a una potencia. Por ejemplo, el poder de tres o cúbico de 2 es 8, porque 8 es el producto de tres factores de 2, tal como sigue.

$2^3=2\times 2\times 2=8$

Y si se sigue a esta ecuación para elaborar un logaritmo con base 2, entonces es 3. De tal forma que 

$lo{g}_{2}8=3$

.

En la potenciación la potencia cúbica de un número es el producto de 3 factores del mismo número. Pero en otras situaciones, elevar tal número a la 

$n$

 potencia, donde 

$n$

 es un número natural, se hace multiplicando al número por 

$n$

 factores del mismo número. Con esto se quiere decir que los logaritmos pueden tener una base con cualquier de los positivos números reales.

$lo{g}_{a}x$

$\iff$

$a^y=x$

 a, x 

$ϵ$

$R^{+}$

, a ≠ 1

Lo anterior quiere decir que el logaritmo de 

$a$

 con base 

$x$

 es igual a 

$a$

 elevado a la potencia 

$y$

para obtener 

$x$

.

Entonces un logaritmo de un número positivo real 

$x$

 con respecto a su base 

$b$

, un número positivo real que no es igual a 1, es el exponente por el cual 

$b$

 debe ser elevado para llegar a 

$x$

. Siendo esto 

${\log }_{b}x$

 o nombrado como logaritmo de 

$x$

 con base 

$b$

.

Logaritmos

Además de los logaritmos con base en 

$n$

, pudiendo ser reemplazado por cualquier número real positivo que no sea igual a 1, existen bases que se encuentran con bastante normalidad en las operaciones y problemas matemáticos, estos son:

El logaritmo con base 10 que es muy común en ciencias de la computación, teorías de la información, teoría musical y fotografía. Esto se debe a que es fácil de usar para los cálculos manuales en el sistema de numeración decimal. Por otro lado, a este logaritmo se le llama común o, logaritmo vulgar, y es acel cuyo exponente debe tener un número para obtener el logaritmo, es 10. Su fórmula se escribe abajo, siendo 

$y$

 el número del cual se obtiene el logaritmo: 

$\log x$

$\iff$

${10}^y=x$

Imagen: Logaritmo con base 10, f(x) = log(x)

El siguiente logaritmo es el logaritmo natural o logaritmo neperiano, y está representado por los logaritmos con base 

$e$

, que es un número irracional pero parte de los números reales positivos que equivale aproximadamente a 2,71828182845904523536. Se utiliza mucho en matemáticas, física, química, estadística, economía, teoría de la información y algunos campos de la ingeniería, su fórmula se indica abajo:

$\ln x$

$\iff$

$e^y=x$

Imagen: Logaritmo Natural, f(x) = ln(x)

Y finalmente, el último de los logaritmos comunes es el logaritmo binario, que por asociación, tiene su base 2, es más usado en informática, algunos campos de la ingeniería, tablas logarítmicas, calculadoras portátiles, espectroscopia, entre otros. Su fórmula se puede leer como:

$\lg x$

$\iff$

$2^y=x$

Imagen: Logaritmo binario, f(x) = log₂(x)

Ejemplos de Logaritmos

Ahora te mostramos algunos ejemplos de logaritmos que se pueden encontrar son parte de ecuaciones logarítmicas que pueden servir para entender mejor los logaritmos. Se trata de dos ejemplos de ecuaciones logarítmicas simples para encontrar la 

$x$

 en cada una de ellas, el primer ejemplo es para encontrar la x dentro del número que se desea sacar el logaritmo, veamos:

${\log }_2(3x+1)-4=0$

Pasamos el 4 hacia el otro lado del igual, pero cambiando su signo.

${\log }_2(3x+1)=4$

Sabemos que 

$lo{g}_{a}x$

$\iff$

$a^y=x$

, entonces 

$lo{g}_2(3x+1)=4$

$\iff$

$2^4=3x+1$

$(3x+1)=2^4$

Resolvemos la potencia.

$(3x+1)=16$

Cambiamos de lado al 

$1$

, cambiando su signo naturalmente.

$3x=16-1=15$

Aislamos la 

$x$

$x=\frac{15}{3}$

$x=\frac{15}{3}$

Y resolvemos la fracción.

$x=5$

El segundo ejemplo es para resolver la base, que en esta ocasión es 

$x$

 y debemos encontrar su equivalencia con la siguiente ecuación

${\log }_{x}81-4=0$

Cambiamos de lado el 4 con signo inverso.

${\log }_{x}81=4$

Ahora cambiamos de lado la operación logarítmica con su contrario que es la potencia de 

$4$

.

$81=x^4$

Aislamos 

$x$

 al transformar la potencia en radicación.

$x=\sqrt[4]{481}$

Resolvemos la raíz para obtener que:

$x=3$

FUENTES: https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/35/logaritmos-propiedades